Fundamentos de Química Cuántica - Problemas resueltos (2002/03)

1. El oído humano es sensible a ondas sonoras con frecuencias comprendidas entre 15 Hz y 20 kHz. La velocidad del sonido en el aire es 343 m/s. Calcular las longitudes de onda correspondientes a estas frecuencias.

   Solución:

   
   

   $$\lambda_1 = \frac{v}{\nu_1} = \frac{343~\mbox{m/s}}{15~\mbox{Hz}} = 22.87 ~\mbox{m}~\mbox{(audio frecuencias)}$$
   
   

   
   

   $$\lambda_2 = \frac{v}{\nu_2} = \frac{343~\mbox{m/s}}{20000~\mbox{Hz}} = 0.01715 ~\mbox{m}~\mbox{(audio frecuencias)}$$
   
   

2. La línea más intensa del espectro del átomo de sodio tiene una longitud de onda de 589 nm. Calcular el correspondiente número de onda y la energía de la transición implicada en electronvoltios por fotón, y en kJ/mol.

   Solución:

   
   

   $$\tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{589~\mbox{nm}}\ti... ...mbox{nm}}{10^{-9}~\mbox{m}} = 1.6977 \times 10^6~\mbox{m}^{-1}$$
   
   

   
   

   $$\Delta E = h \nu = h~c \tilde{\nu} = 6.626 \times 10^{-34}~\m... ...977 \times 10^6~\mbox{m}^{-1} = 3.372 \times 10^{-19} \mbox{J}$$
   
   

   
   

   $$\mbox{o en eV} \hspace*{1cm} \Delta E = 3.372 \times 10^{-... ...\mbox{eV}}{1.6022 \times 10^{-19}~\mbox{J}} = 2.105 ~\mbox{eV}$$
   
   

   
   

   $$\mbox{y en kJ/mol} \hspace*{2cm} \Delta E = 3.373 \times 10... ...~\mbox{J}}{~\mbox{mol}} = 203.2 \frac{~\mbox{kJ}}{~\mbox{mol}}$$
   
   

3. Calcular la longitud de onda máxima de un fotón que pueda producir la reacción:
   
   $$N_{2 \, (g)} \rightarrow 2N_{(g)} \hspace*{1cm} \Delta H = +225 \mbox{ kcal/mol}$$
   
   

   Solución:

   
   

   $$\Delta H = 225 \frac{~\mbox{kcal}}{~\mbox{mol}} \times \frac... ....184~\mbox{J}}{1~\mbox{cal}} = 1.563 \times 10^{-18} ~\mbox{J}$$
   
   

   que corresponde con la energía de un fotón capaz de producir la reacción:

   
   

   $$\Delta H = h \nu = h \frac{c}{\lambda} \rightarrow \lambda = ... ... 1.271 \times 10^{-7} ~\mbox{m}= 127.1 ~\mbox{nm} ~\mbox{(IR)}$$
   
   

4. La reacción fotoquímica
   
   $$NO_2 + h\nu \rightarrow NO + O$$
   
   
   es una de las fuentes de átomos de oxígeno (y por tanto de ozono) más importante en la atmósfera terrestre. La energía de disociación es 306 kJ/mol. Encontrar la longitud de onda de un fotón capaz de producir dicha reacción.

   Solución:

   
   

   $$\Delta H = 306 \frac{~\mbox{kJ}}{~\mbox{mol}} \times \frac{1}... ...1 \times 10^{-22} ~\mbox{kJ} = 5.081 \times 10^{-19} ~\mbox{J}$$
   
   

   
   

   $$\lambda = \frac{h c}{\Delta H} = \frac{6.626 \times 10^{-34}~... ... 3.910 \times 10^{-7} ~\mbox{m}= 391.0 ~\mbox{nm} ~\mbox{(UV)}$$
   
   

5. La frecuencia umbral para la emisión fotoeléctrica del cobre es 1.1 $\times 10^{15}$ s$^{-1}$. ¿Cuál será la energía máxima (en electronvoltios) de los fotoelectrones emitidos cuando la luz de frecuencia 1.5 $\times 10^{15}$ s$^{-1}$ incide sobre una superficie de cobre?.

   Solución:

   De acuerdo con el principio de conservación de la energía $h \nu = \phi_0 + T$, donde $\phi_0$ es la energía mínima necesaria para arrancar un electrón y T su energía cinética máxima.

   La frecuencia umbral es ($T=0$) $h \nu_0 = \phi_0$, que nos permite reescribir la conservación de la energía: $h \nu = h \nu_0 + T$. De donde

   
   

   $$T = h (\nu - \nu_0) = 6.626 \times 10^{-34}~\mbox{J~s}\times ... ...mbox{eV}}{1.6022 \times 10^{-19}~\mbox{J}} = 1.6542 ~\mbox{eV}$$
   
   

6. El potencial de extracción del sodio es 2.3 eV: a) ¿cuál será la máxima longitud de onda de la luz, que producirá emisión de fotoelectrones en el sodio? y b) ¿cuál será la energía cinética máxima de los fotoelectrones si luz de 2000 Å  incide sobre una superficie de sodio?.

   Solución:

   
   

   $$\mbox{(a)} ~\phi_0 = h \nu_0 = h \frac{c}{\lambda_0} \right... ...V}} \times \frac{1~\mbox{eV}}{1.6022 \times 10^{-19}~\mbox{J}}$$
   
   

   
   

   $$= 5.391 \times 10^{-7} ~\mbox{m}\times \frac{1\mbox{\AA}}{10^{-10}~\mbox{m}} = 5391 \mbox{\AA} = 539.1 ~\mbox{nm}~\mbox{(UV)}$$
   
   

   y que corresponde con luz visible-ultravioleta.

   
   

   $$\mbox{(b) Si} ~\lambda = 2000 ~\mbox{\AA} \rightarrow \nu = ... ...x{1~\AA}}{10^{-10}~\mbox{m}} = 1.499 \times 10^{15} ~\mbox{Hz}$$
   
   

   
   

   $$T = h \nu - \phi_0 = 6.626 \times 10^{-34}~\mbox{J~s}\times 1... ...eV}\times \frac{1.6022 \times 10^{-19}~\mbox{J}}{1 ~\mbox{eV}}$$
   
   
   
   
   $$= (9.932 - 3.685) \times 10^{-19} ~\mbox{J}= 6.247 \times 10^{-19} ~\mbox{J}$$
   
   

7. La función trabajo del K es 2.2 eV y la del Ni 5.0 eV. (a) Calcular las frecuencias y longitudes de onda umbral para estos dos metales. (b) ¿Dará lugar la luz ultravioleta de longitud de onda 400 nm al efecto fotoeléctrico en el K? ¿Y en el Ni? (c) Calcular la máxima energía cinética de los electrones emitidos en (b).

   Solución:

   
   

   $$\mbox{(a)} ~\nu_0 (K) = \frac{\phi_0 (K)}{h} = \frac{2.2~\mb... ...-19}~\mbox{J}}{1 ~\mbox{eV}} = 5.320 \times 10^{14} ~\mbox{Hz}$$
   
   

   
   

   $$\lambda_0 (K) = \frac{h c}{\phi_0 (K)} = \frac{6.626 \times ... ...022 \times 10^{-19}~\mbox{J}} = 5.636 \times 10^{-7} ~\mbox{m}$$
   
   
   
   
   $$= 5.636 \times 10^{-7} ~\mbox{m}\times \frac{~\mbox{nm}}{10^{-9}~\mbox{m}} = 563.6 ~\mbox{nm}$$
   
   

   Análogamente, para el Níquel

   
   

   $$\nu_0 (Ni) = \frac{\phi_0 (Ni)}{h} = \frac{5.0~\mbox{eV}}{6.... ...{-19}~\mbox{J}}{1~\mbox{eV}} = 1.209 \times 10^{15} ~\mbox{Hz}$$
   
   

   
   

   $$\lambda_0 (Ni) = \frac{h~c}{\phi_0 (Ni)} = \frac{6.626 \time... ...022 \times 10^{-19}~\mbox{J}} = 2.480 \times 10^{-7} ~\mbox{m}$$
   
   
   
   
   $$= 2.480 \times 10^{-7} ~\mbox{m}\times \frac{1 ~\mbox{nm}}{10^{-9}~\mbox{m}} = 248.0 ~\mbox{nm}$$
   
   

   (b) Si $\lambda = 400 ~\mbox{nm}< \lambda_0$, si se dará el efecto fotoeléctrico, mientras que si $\lambda = 400 ~\mbox{nm}> \lambda_0$, no se dará. Por tanto, en el K si y en el Ni no.

   
   

   $$\mbox{(c) Si} ~\lambda = 400 ~\mbox{nm}\rightarrow \nu = \fr... ...\mbox{nm}}{10^{-9}~\mbox{m}} = 7.495 \times 10^{14} ~\mbox{Hz}$$
   
   

   
   

   $$\mbox{y}~T = h (\nu - \nu_0) = 6.626 \times 10^{-34}~\mbox{J... ...20 \times 10^{14}) ~\mbox{Hz}= 1.441 \times 10^{-19} ~\mbox{J}$$
   
   

8. Cuando se ilumina una cierta superficie metálica con luz de diferentes longitudes de onda y se miden los potenciales que detienen los fotoelectrones, se obtienen los valores que se muestran en la siguiente tabla:

   
   
   
   

   $\lambda (10^{-7} ~\mbox{m})$	3.66	4.05	4.36	4.92	5.46	5.79
   V(V)	1.48	1.15	0.93	0.62	0.36	0.24

   
   

   Representando el potencial en función de la frecuencia, determinar: (a) la frecuencia umbral, (b) el potencial de extracción del metal, y (c) la constante de Planck.

   Solución:

   Representando el potencial en función de la frecuencia, tenemos que: $V = \frac{h}{e} \nu - \frac{\phi_0}{e}$

   Si calculamos las frecuencias $\nu = \frac{c}{\lambda}$

   
   
   
   

   $\nu (10^{14} ~\mbox{Hz})$	8.191	7.402	6.876	6.093	5.491	5.178
   V(V)	1.48	1.15	0.93	0.62	0.36	0.24

   
   
   
   Un ajuste por mínimos cuadrados da

   
   

   $$V/\mbox{V}= 4.11518 \times 10^{-15} \nu/~\mbox{Hz}- 1.89410$$
   
   

   de donde se deduce que

   
   

   $$\mbox{(a)} ~\nu_0 = \frac{1.89410}{4.11518 \times 10^{-15}} ~\mbox{Hz}= 4.602 \times 10^{14} ~\mbox{Hz}$$
   
   

   
   

   $$\mbox{(b)} ~\frac{h}{e} = 4.11518 \times 10^{-15} \frac{\mbo... ...022 \times 10^{-19}~\mbox{C}= 6.593 \times 10^{-34} \mbox{J s}$$
   
   

   que permite determinar $h$ con un error del

   
   

   $$\% error = \frac{\bar{h} -h}{\bar{h}} \times 100 = 0.5 \%$$
   
   

   (c) Análogamente $\frac{\phi_0}{e} = 1.89410 \mbox{V} \rightarrow \phi_0 = 1.89410 ~\mbox{eV}$.

9. Cuando cierto metal se irradia con luz de frecuencia 3.0 $\times 10^{16}$ s$^{-1}$, los fotoelectrones emitidos tienen una energía cinética doce veces mayor que los fotoelectrones emitidos cuando el mismo metal se irradia con luz de frecuencia 2.0 $\times 10^{16}$ s$^{-1}$ ¿Cuál será la frecuencia umbral del metal?.

   Solución:

   
   

   $$\nu_1 = 3.0 \times 10^{16} ~\mbox{Hz}\rightarrow T_1 = 12 T_2$$
   
   
   
   
   $$\nu_2 = 2.0 \times 10^{16} ~\mbox{Hz}\rightarrow T_2$$
   
   

   Como $h \nu_1 = T + \phi_0 = T + h \nu_0$, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

   
   

   $$h \nu_1 = T_1 + h \nu_0 \rightarrow h \nu_1 = 12 T_2 + h \nu_0$$
   
   
   
   
   $$h \nu_2 = T_2 + h \nu_0 \rightarrow 12 \times (h \nu_2 = T_2 + h \nu_0)$$
   
   
   por lo que restándolas

   
   

   $$h (12 \nu_2 - \nu_1) = 11 h \nu_0 \rightarrow \nu_0 = \frac{12 \nu_2 - \nu_1}{11} = 1.909 \times 10^{16} ~\mbox{Hz}$$
   
   

10. En un tubo de rayos X donde los electrones se aceleran con un potencial de 5000 V, la mínima longitud de onda de los rayos X producidos es 248 pm. Estimad el valor de la constante de Planck.

    Solución:

    En este caso la energía cinética de los electrones es igual a la energía de los rayos X,

    
    

    $$e V = h \nu = h \frac{c}{\lambda} \rightarrow h = \frac{\lam... ...19}~\mbox{J}}{1~~\mbox{eV}} = 6.627 \times 10^{-34} \mbox{J~s}$$
    
    

11. Calcular la frecuencia hacia la cual convergen todas las líneas espectrales de la serie de Lyman. ¿Cuál será la longitud de onda y la energía de esta radiación?.

    Solución:

    El número de onda de las lineas de la serie de Lyman viene dada por

    
    

    $$\tilde{\nu} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \hspace*{1cm} n_2 > n_1$$
    
    
    con $n_1=1$, $R_H=109677.5856$ cm$^{-1}$ (constante de Rydberg para el hidrógeno). La frecuencia a la cual convergen todas las lineas se obtiene cuando $n_2=\infty$:

    
    

    $$\tilde{\nu} = R_H = 109677.5856 ~\mbox{cm}^{-1}$$
    
    
    La frecuencia será $\nu = c \tilde{\nu} = 2.998 \times 10^{8}~\mbox{m/s}\times 109677.5856 ~\mbox{cm}^{-1} \times 100 ~\mbox{cm}/ 1~\mbox{m}= 3.2881 \times 10^{15} ~\mbox{Hz}$.

    La longitud de onda es el inverso del número de onda
    

    $$\lambda = \frac{1}{\tilde{\nu}} = \frac{1}{109677.5856 ~\mbo... ...times \frac{1~\mbox{nm}}{10^{-9}~\mbox{m}} = 91.18 ~\mbox{nm}$$
    
    

    y la energía de la transición:

    
    

    $$E=h \nu = h c \tilde{\nu} = 6.626 \times 10^{-34}~\mbox{J~s}... ...100 ~\mbox{cm}}{1 ~\mbox{m}} = 2.179 \times 10^{-18} ~\mbox{J}$$
    
    

12. Calcular la longitud de onda en Angstrom y la frecuencia en s$^{-1}$ de la primera línea de la serie de Balmer.

    Solución:

    
    

    $$\tilde{\nu} = R_H \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \hspace*{1cm} n_2 > n_1$$
    
    
    con $n_1=2$ y $n_2=3$.

    
    

    $$\tilde{\nu} = R_H \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \rig... ... \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = R_H \frac{5}{36}$$
    
    

    
    

    $$\lambda = \frac{1}{\tilde{\nu}} = \frac{36}{5 R_H} = \frac{... ...5 \times 10^{-5} ~\mbox{cm}= 656.5 ~\mbox{nm}= 6565 \mbox{\AA}$$
    
    

    
    

    $$\nu = c \tilde{\nu} = \frac{5}{36} c R_H = \frac{5}{36} \t... ...100 ~\mbox{cm}}{1 ~\mbox{m}} = 4.567 \times 10^{14} ~\mbox{Hz}$$
    
    

13. Calcular el potencial de ionización del átomo de hidrógeno cuando el electrón ocupa la órbita con número cuántico principal igual a 5.

    Solución:

    En este caso $n_1=5$ y $n_2=\infty$:
    

    $$\tilde{\nu} = R_H \frac{1}{5^2} \rightarrow E=h \nu = h c \t... ...6~\mbox{cm}^{-1}}{25} \times \frac{100 ~\mbox{cm}}{1~\mbox{m}}$$
    
    
    
    
    $$= 8.715 \times 10^{-20} ~\mbox{J} = 8.715 \times 10^{-20} ~\... ...mbox{eV}}{1.6022 \times 10^{-19}~\mbox{J}} = 0.5439 ~\mbox{eV}$$
    
    

14. Calcular la longitud de onda de De Broglie asociada a:

    (a) un electrón con 15 keV de energía cinética, (b) un protón con 15 keV de energía cinética, (c) una molécula de SF$\,_6$ a una velocidad de 1 m/s, y (d) un objeto de 1 kg a una velocidad de 1 m/s.

    Solución:

    
    

    $$\mbox{(a)} ~T = 15 ~\mbox{keV}= \frac{p^2}{2m_e} \rightarro... ...imes 15000 ~\mbox{eV}\times 1.6022 \times 10^{-19}~\mbox{C}/e}$$
    
    
    
    
    $$= 6.616 \times 10^{-23} ~\mbox{kg}~\mbox{m}/ ~\mbox{s} \righ... ...box{s}} = 1.0001 \times 10^{-11} ~\mbox{m}= 0.01001 ~\mbox{nm}$$
    
    

    
    

    $$\mbox{(b) Análogamente} ~p = \sqrt{2m_p T} = \sqrt{2 \times ... ...imes 15000 ~\mbox{eV}\times 1.6022 \times 10^{-19}~\mbox{C}/e}$$
    
    
    
    
    $$= 2.836 \times 10^{-21} ~\mbox{kg}~\mbox{m}/ ~\mbox{s} \righ... ...box{s}} = 2.3369 \times 10^{-13} ~\mbox{m}= 0.23369 ~\mbox{pm}$$
    
    

    
    

    $$\mbox{(c)} PM_{SF_6} = A_S + 6 A_F = 146.0544 \frac{~\mbox{g... ...\mbox{mol}^{-1}} = 2.425 \times 10^{-22} ~\mbox{g} \rightarrow$$
    
    
    
    
    $$~p = m v = 2.425 \times 10^{-25} ~\mbox{kg}~\mbox{m}/~\mbox{... ...rac{h}{p} = 2.7325 \times 10^{-9} ~\mbox{m}= 2.7325 ~\mbox{nm}$$
    
    

    
    

    $$\mbox{(d)} ~p = m v = 1 ~\mbox{kg}~\mbox{m}/~\mbox{s} \righ... ...6 \times 10^{-34} ~\mbox{m} = 6.626 \times 10^{-25} ~\mbox{nm}$$