Fundamentos de Química Cuántica - Problemas (2006/07) Tema 3

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Dada la función de onda normalizada para una partícula que se mueve en una dimensión

$$\phi (x) = (4\alpha^3/\pi)^{1/4} x e^{-\alpha x^2/2}$$

1. Comprobar si existe algún valor de $\alpha$ para el cual esta función es solución de la ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico monodimensional de masa $m$ y constante de fuerza $k$.
2. Obtener la densidad de probabilidad en $x=0$.
3. Calcular las posiciones de los máximos de la densidad de probabilidad en función de $\alpha$.

35

Un oscilador armónico tridimensional tiene un potencial $V = \frac{1}{2} k_x x^2 + \frac{1}{2} k_y y^2 + \frac{1}{2} k_z z^2$, donde las tres constantes de fuerza no son necesariamente iguales. Escribir una expresión para los niveles de energía de este sistema ¿Cuál es el punto cero de energía?

36

Expresar $\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}$ en coordenadas polares.

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Mostrar que si $\Phi = N \, e^{im \phi}$ es una función definida entre 0 y 2$\pi$, la constante de normalización $N$ vale $(2\pi)^{-1/2}$.

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Calcular la energía electrostática de dos electrones separados 3.0 Å  en el vacío. Expresar la respuesta en Julios, ergios y eV.

39

¿Existe una atracción gravitatoria entre el electrón y el protón en el átomo de hidrógeno? Si existe ¿por qué no se tiene en cuenta en el Hamiltoniano? Hacer un cálculo para justificar la respuesta.

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a) Supongamos $z_1 = a_1 + i b_1$ y $z_2 = a_2 + i b_2$, donde $i=\sqrt{-1}$ y los coeficientes $a$ y $b$ son reales. Si $z_1=z_2$, indicar que condiciones tienen que cumplir los coeficientes $a$ y $b$.

b) Verifique que para la función $\Phi(\phi) = N \, e^{im \phi}$ el requisito $\Phi(\phi)=\Phi(\phi+2\pi)$ conduce a la condición de que $m$ sea un número entero.

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Usar la energía de ionización del H para predecir la de los iones He$^+$, Li$^{2+}$ y U$^{91+}$.

42

Calcular la longitud de onda del fotón emitido cuando un electrón salta del nivel $n=3$ al $n=2$ de un átomo hidrogenoide. Indicar para que estados es posible este salto.

43

Ya que los átomos de H y D poseen distinta masa reducida, existirán pequeñas diferencias de energías entre sus niveles. Calcular los potenciales de ionización y la longitud de onda de la primera línea de la serie de Balmer para los dos isótopos.

44

Un átomo hidrogenoide tiene una serie de líneas espectrales a 26.2445, 19.4404, 17.3578 y 16.4028 nm. Calcular la carga nuclear del átomo y describir a qué transiciones corresponden cada una de las líneas espectrales.

45

¿Cuáles de las siguientes transiciones están permitidas en el espectro electrónico de un átomo hidrogenoide?

(a) $2s \rightarrow 1s$ (b) $2p \rightarrow 1s$ (c) $3d \rightarrow 1s$ (d) $3d \rightarrow 3p$

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Demostrar que el máximo de la función de distribución radial para el estado fundamental de un átomo hidrogenoide está en $r=a_0/Z$. Encontrar los valores numéricos para C$^{5+}$ y B$^{4+}$.

47

Calcular la probabilidad de que el electrón en el estado 1s del átomo de hidrógeno esté a una distancia del núcleo entre 0 y 2.0 Å

48

Comprobar que la constante de normalización $N$ del orbital 1s: $\phi_{1s}=N\exp[-Zr/a_0]$ es $N= [\frac{Z^3}{\pi a_0^3}]^{1/2}$

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La función de onda normalizada del orbital $1s$ de un átomo hidrogenoide es:

$$\phi_{1s} = (Z^3/\pi a_0^3)^{1/2} e^{-Zr/a_o}$$

1. Determinar el valor medio de la distancia del núcleo al electrón para el orbital 1s del átomo de H y del ion He$^+$.
2. Comparar los resultados del apartado anterior con el valor del máximo de la función de distribución radial.
3. Determinar el valor medio de la energía potencial en ambos sistemas.

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Dado el siguiente orbital del átomo de hidrógeno:

$$\psi = N \, r \, e^{-\frac{r}{2a_o}} \, \cos{\theta}$$

1. Encontrar sus números cuánticos y decir de que orbital se trata.
2. Usando los resultados del apartado anterior, decir cuánto vale el módulo del momento angular del electrón cuando está en este estado.
3. Decir cuánto vale la proyección sobre el eje z del momento angular del electrón cuando está en este estado.
4. Encontrar sus planos nodales.
5. Comprobar que su constante de normalización vale $N = \left( \frac{1}{32 \pi a_o^5} \right)^\frac{1}{2}$
6. Calcular el valor más probable de la distancia entre el electrón y el núcleo.
7. Calcular la probabilidad de hallar el electrón entre los valores de $r=0$ y $r=4a_o$.
8. Calcular el valor medio de $r$ y de la energía potencial.
9. Calcular la probabilidad de hallar el electrón entre los valores de $\theta=0$ y $\theta=10^{\rm o}$.
10. Calcular la probabilidad de hallar el electrón entre los valores de $\theta=170^{\rm o}$ y $\theta=180^{\rm o}$.
11. Calcular la probabilidad de hallar el electrón entre los valores de $\theta=80^{\rm o}$ y $\theta=100^{\rm o}$.
12. Evaluar la densidad de probabilidad en los puntos $(x=0,y=0,z=2a_0)$ y $(x=a_0,y=a_0,z=0)$.

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Comprobar que la función $f(r,\theta)=Nr\exp[-Zr/2a_0]\cos\theta$ es solución de la ecuación de Schrödinger para un átomo hidrogenoide y obtener la energía de esta función.

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Establecer si cada una de estas funciones es simétrica, antisimétrica o ni una cosa ni la otra

(a) $f(1)g(2)$ (b) $g(1)g(2)$ (c) $f(1)g(2) - g(1)f(2)$ (d) $r_1^2-2r_1r_2+r_2^2$ (e) $(r_1-r_2)e^{-br_{12}}$

donde $f$ y $g$ son funciones arbitrarias de las coordenadas de las partículas idénticas 1 y 2, $r_1$, $r_2$ son las distancias de las partículas al núcleo y $r_{12}$ la distancia entre las dos.

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Tomando

$$\Psi (1,2)=\left\vert \begin{array}{cc} \psi _{A}(1) & \psi _{B}(1)\\ \psi _{A}(2) & \psi _{B}(2) \end{array}\right\vert$$

demostrar que

(a) el intercambio de 2 columnas cambia el signo de $\Psi$,

(b) el intercambio de 2 filas cambia el signo de $\Psi$,

(c) los dos electrones no pueden estar en el mismo espín-orbital.

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Mostrar que la siguiente función de onda para el átomo de helio es antisimétrica con respecto al intercambio de los dos electrones

$$\Psi (1,2)=\left\vert \begin{array}{cc} 1s \alpha (1) & 1s \beta (1)\\ 1s \alpha (2) & 1s \beta (2) \end{array}\right\vert$$

55

Los primeros potenciales de ionización del Na, K y Rb son 5.138, 4.341 y 4.166 eV, respectivamente. Suponiendo que el nivel de energía del electrón mas externo puede representarse por la energía de los orbitales hidrogenoides con una carga nuclear efectiva $Z_{ef}$, y que los orbitales importantes son los 3s, 4s y 5s, respectivamente, calcular $Z_{ef}$ para estos átomos

56

Escriba el hamiltoniano para el movimiento interno del átomo de Li.

57

Dados los orbitales atómicos $1s$ y $2s$ del átomo de Be, construir el determinante de Slater para el estado fundamental.

58

Deducir el término espectral para el estado fundamental correspondiente a las configuraciones $np^1$ $n^\prime p^1$, $ns$ $np^5$, $ns$ $nd$, $np^2$, $np^3$, $nd^2$, teniendo en cuenta las reglas de Hund.

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Deducir el término espectral para el estado fundamental de los átomos de He, Li, Be, B, C, N, O y F.

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Deducir los términos espectrales posibles de las configuraciones:

• $1s2s$ del átomo de He
• $1s2p$ del átomo de He
• $1s^2 2p$ del átomo de Li
• $1s^2 2s 2p$ del átomo de Be