\documentclass[]{article}
\usepackage[spanish]{babel}
\usepackage{isolatin1}
\usepackage{psfig}
\parskip 0.5cm
\textwidth 17cm
\textheight 23.5cm
\oddsidemargin -0.5cm
\evensidemargin -0.5cm
\topmargin -1.5cm

\pagestyle{myheadings}
\markboth{\bf {Problemas de Fundamentos de Qu�mica Cu�ntica (2000/01)
$\;\;\;\;\;\;\;$ 1$^o$ de C. Qu�micas.}}
{{\bf Problemas de Fundamentos de Qu�mica Cu�ntica (2000/01)
$\;\;\;\;\;\;\;$ 1$^o$ de C. Qu�micas.}}


\begin{document}
\newcounter{problemas}
\begin{list}{\arabic{problemas}}
  {\usecounter{problemas}
  }

\setcounter{problemas}{33}
\item Dada la funci�n de onda normalizada para una part�cula que se
mueve en una dimensi�n 
$$ \phi (x) = (4\alpha^3/\pi)^{1/4} x e^{-\alpha x^2/2} $$
\begin{enumerate}
\item Comprobar si existe alg�n valor de $\alpha$ para el cual esta
funci�n es soluci�n de la ecuaci�n de
Schr�dinger para un oscilador arm�nico monodimensional de masa $m$ y
constante de fuerza $k$.
\item Obtener la densidad de probabilidad en $x=0$.
\item Calcular las posiciones de los m�ximos de la densidad de probabilidad
en funci�n de $\alpha$.
\end{enumerate}

\item Un oscilador arm�nico tridimensional tiene un potencial 
$V = \frac{1}{2} k_x x^2 + \frac{1}{2} k_y y^2 
+ \frac{1}{2} k_z z^2 $, donde las tres constantes de
fuerza no son necesariamente iguales. Escribir una expresi�n para los
niveles de energ�a de este sistema �Cu�l es el punto cero de energ�a?

\item Expresar $ \frac{\partial^2}{\partial x^2} 
+ \frac{\partial^2}{\partial y^2} $ en coordenadas polares.

% Quitamos estos problemas
%\item El sistema de electrones $\pi$ de
%las mol�culas $H_2C-(CH=CH)_n-CH_2$, con $n=2,3,...$,
%puede representarse como cajas monodimensionales cada vez m�s grandes.
%Suponiendo que un electr�n puede moverse libremente a lo largo de toda
%la mol�cula, calcular la longitud de onda de absorci�n de la
%transici�n m�s baja para $n=2, 3$ y 4. Considerar que cada enlace
%tiene una longitud de 1.5\AA~y que los enlaces $CH$ finales se
%desprecian.
%
%\item El benceno, como primera aproximaci�n puede ser considerado como
%una caja cuadrada bidimensional que abarca la forma hexagonal regular.
%La longitud de enlace $C-C$ en el benceno es 1.4\AA, as� que el lado
%de la caja ser� de aproximadamente 2.8\AA. Estimar la longitud de onda
%de
%la transici�n desde el estado fundamental al primer estado excitado del
%benceno, suponiendo que solo los electrones de los enlaces $\Pi$ est�n
%implicados.

\item Mostrar que si $\Phi = N \, e^{im \phi}$ es una funci�n definida
entre 0 y 2$\pi$, la constante de normalizaci�n $N$ vale
$(2\pi)^{-1/2}$.

\item Calcular la energ�a electrost�tica de dos electrones separados
3.0~\AA~ en el vac�o. Expresar la respuesta en Julios, ergios y eV.

\item �Existe una atracci�n gravitatoria entre el electr�n y el
prot�n en el �tomo de hidr�geno? Si existe �por qu� no se tiene en
cuenta en el Hamiltoniano? Hacer un c�lculo para justificar la
respuesta.

\item a) Supongamos $z_1 = a_1 + i b_1$ y $z_2 = a_2 + i b_2$, donde
$i=\sqrt{-1}$ y los coeficientes $a$ y $b$ son reales. Si $z_1=z_2$,
indicar que condiciones tienen que cumplir los coeficientes $a$ y $b$.

b) Verifique que para la funci�n $\Phi(\phi) = N \, e^{im \phi}$
el requisito $\Phi(\phi)=\Phi(\phi+2\pi)$ conduce a la
condici�n de que $m$ sea un n�mero entero.

\item Usar la energ�a de ionizaci�n del H para predecir la de los
iones He$^+$, Li$^{2+}$ y U$^{91+}$.

\item Calcular la longitud de onda del fot�n emitido cuando un
electr�n salta del nivel $n=3$ al $n=2$ de un �tomo hidrogenoide.
Indicar para que estados es posible este salto.

\item Ya que los �tomos de H y D poseen distinta masa reducida, existir�n
peque�as diferencias de energ�as entre sus niveles. Calcular los
potenciales de ionizaci�n y la longitud de onda de la primera l�nea de
la serie de Balmer para los dos is�topos.

\item Un �tomo hidrogenoide tiene una serie de l�neas espectrales a
26.2445, 19.4404, 17.3578 y 16.4028 nm. Calcular la carga
nuclear del �tomo y describir a qu� transiciones corresponden cada una
de las l�neas espectrales.

\item �Cu�les de las siguientes transiciones est�n permitidas en el
espectro electr�nico de un �tomo hidrogenoide?

(a) $2s \rightarrow 1s$
(b) $2p \rightarrow 1s$
(c) $3d \rightarrow 1s$
(d) $3d \rightarrow 3p$

\item Demostrar que el m�ximo de la funci�n de distribuci�n radial
para el estado fundamental de un �tomo hidrogenoide est� en
$r=a_0/Z$.
Encontrar los valores num�ricos para C$^{5+}$ y B$^{4+}$.

\item Calcular la probabilidad de que el electr�n en el estado 1s del
�tomo de hidr�geno est� a una distancia del n�cleo entre 0 y 2.0 \AA

\item Comprobar que la constante de normalizaci�n $N$ del orbital 1s:
$\phi_{1s}=N\exp[-Zr/a_0]$ es $N=  [\frac{Z^3}{\pi a_0^3}]^{1/2}$

\item La funci�n de onda normalizada del orbital $1s$ de un �tomo
hidrogenoide es:
$$ \phi_{1s} = (Z^3/\pi a_0^3)^{1/2} e^{-Zr/a_o} $$
\begin{enumerate}
\item Determinar el valor medio de la distancia del n�cleo al
electr�n para el orbital 1s del �tomo de H y del ion He$^+$.
\item Comparar los resultados del apartado anterior con el valor del
m�ximo de la funci�n de distribuci�n radial.
\item Determinar el valor medio de la energ�a potencial en ambos 
sistemas.
\end{enumerate}

\item Dado el siguiente orbital del �tomo de hidr�geno:
$$ 
\psi = N \, r \, e^{-\frac{r}{2a_o}} \, \cos{\theta}
$$
\begin{enumerate}
\item  Encontrar sus n�meros cu�nticos y decir de que orbital se trata.
\item  Usando los resultados del apartado anterior,
decir cu�nto vale el m�dulo del momento angular del
electr�n cuando est� en este estado.
\item  Decir cu�nto vale la proyecci�n sobre el eje z del
momento angular del electr�n cuando est� en este estado.
\item  Encontrar sus planos nodales.
\item  Comprobar que su constante de normalizaci�n vale
$N = \left( \frac{1}{32 \pi a_o^5} \right)^\frac{1}{2} $
\item  Calcular el valor m�s probable
de la distancia entre el electr�n y el n�cleo.
\item  Calcular la probabilidad de hallar el electr�n entre  los
valores de $r=0$ y $r=4a_o$.
\item  Calcular el valor medio de $r$ y de la energ�a potencial.
\item  Calcular la probabilidad de hallar el electr�n
entre los valores de $\theta=0$ y $\theta=10^{\rm o}$.
\item  Calcular la probabilidad de hallar el electr�n
entre los valores de $\theta=170^{\rm o}$ y $\theta=180^{\rm o}$.
\item  Calcular la probabilidad de hallar el electr�n
entre los valores de $\theta=80^{\rm o}$ y $\theta=100^{\rm o}$.
\item Evaluar la densidad de probabilidad en los
puntos $(x=0,y=0,z=2a_0)$ y $(x=a_0,y=a_0,z=0)$.
%Encontrar el valor de $r$ al que aparece el m�ximo de la funci�n
%de distribuci�n radial.
\end{enumerate}

\item Comprobar que la funci�n 
$f(r,\theta)=Nr\exp[-Zr/2a_0]\cos\theta$
es soluci�n de la ecuaci�n de Schr\"odinger para un �tomo hidrogenoide
y obtener la energ�a de esta funci�n.


\item Establecer si cada una de estas funciones es sim�trica,
antisim�trica o ni una cosa ni la otra

(a) $f(1)g(2)$
(b) $g(1)g(2)$
(c) $f(1)g(2) - g(1)f(2)$
(d) $r_1^2-2r_1r_2+r_2^2$
(e) $(r_1-r_2)e^{-br_{12}}$

donde $f$ y $g$ son funciones arbitrarias de las coordenadas de las
part�culas id�nticas 1 y 2, $r_1$, $r_2$ son las distancias de las
part�culas al n�cleo y $r_{12}$ la distancia entre las dos.

\item Tomando

$$ 
\Psi (1,2)=\left| \begin{array}{cc}
\psi _{A}(1) & \psi _{B}(1)\\
\psi _{A}(2) & \psi _{B}(2)
\end{array}
\right| 
$$
demostrar que

(a) el intercambio de 2 columnas cambia el signo de $\Psi$,

(b) el intercambio de 2 filas cambia el signo de $\Psi$,

(c) los dos electrones no pueden estar en el mismo esp�n-orbital.

\item Mostrar que la siguiente funci�n de onda para el �tomo de
helio es antisim�trica con respecto al intercambio de los dos
electrones

$$
\Psi (1,2)=\left| \begin{array}{cc}
1s \alpha (1) & 1s \beta (1)\\
1s \alpha (2) & 1s \beta (2)
\end{array}
\right| 
$$

\item Los primeros potenciales de ionizaci�n del Na, K y Rb 
son 5.138, 4.341
y 4.166 eV, respectivamente. Suponiendo que el nivel de energ�a del
electr�n mas externo puede representarse por la energ�a de los
orbitales hidrogenoides con una carga nuclear efectiva $Z_{ef}$, y que
los orbitales importantes son los 3s, 4s y 5s, respectivamente,
calcular $Z_{ef}$ para estos �tomos

\item Escriba el hamiltoniano para el movimiento interno del �tomo de
Li.

\item Dados los orbitales at�micos $1s$ y $2s$ del �tomo de Be,
construir el determinante de Slater para el estado fundamental.

\item Deducir el t�rmino espectral para el estado fundamental
correspondiente a las configuraciones \hspace*{.2cm}
$np^1$ $n^\prime p^1$, $ns$ $np^5$, $ns$ $nd$, $np^2$,
$np^3$, $nd^2$, \hspace*{.2cm} teniendo en cuenta las reglas de Hund.

\item Deducir el t�rmino espectral para el estado fundamental de los
�tomos de He, Li, Be, B, C, N, O y F.

\item Deducir los t�rminos espectrales posibles de las configuraciones:
\begin{itemize}
\item $1s2s$ del �tomo de He
\item $1s2p$ del �tomo de He
\item $1s^2 2p$ del �tomo de Li
\item $1s^2 2s 2p$ del �tomo de Be
\end{itemize}
\end{list}
\end{document}
