Fundamentos de Química Cuántica - Problemas (2006/07) Tema 2

15

Calcular el módulo de (a) $-2$, (b) $3-2i$, (c) $\cos \theta + i \mbox{sen} \, \theta$, (d) $y \exp(iax)$.

16

Probar que $(fg)^* = f^* g^*$ donde $f$ y $g$ son cantidades complejas.

17

Verificar que si $\Psi$ es una solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, entonces $c \Psi$ es también solución siendo $c$ una constante.

18

Comprobar que las funciones $\Psi(x,t) = A \exp[2\pi i (\pm x/\lambda -\nu t)]$ son soluciones de la ecuación de Schrödinger monodimensional dependiente del tiempo de una partícula libre. Suponiendo que $\lambda$ es la longitud de onda de De Broglie, expresar $\nu$ en función del momento lineal $p$.

19

Si la posición de un electrón se mide con una precisión de $\pm 0.001$ Å ¿Cuál será la máxima precisión para el momento?

20

Un átomo sufre una transición desde un estado excitado con un tiempo de vida de 1 ns al estado fundamental, y emite un fotón con una longitud de onda de 600 nm. Calcular la incertidumbre en la energía del estado excitado.

21

Hallar la longitud de onda de la luz emitida cuando una partícula de $1.0 \times 10^{-27}$ g en una caja monodimensional de 30 nm pasa del nivel $n=2$ al nivel $n=1$.

22

Calcular la energía en electronvoltios (eV) de los niveles $n=1, 2$ y 3 de un electrón en una caja de potencial monodimensional de longitud $a=560$ pm.

23

Para una partícula en el estado estacionario $n$ de una caja monodimensional de longitud $a$, encontrar la probabilidad de que la partícula esté en la región $0 \le x \le a/4$.

24

Para el estado fundamental de una partícula en una caja monodimensional de longitud $a$, encontrar la probabilidad de que la partícula esté entre $\pm 0.001a$ del punto $a/2$. Calcular el valor medio de la posición y el momento.

25

Para el estado estacionario de número cuántico $n$ de la partícula en una caja, escribir una expresión para la probabilidad de que la partícula se encuentre entre $a/4$ y $a/2$.

26

Para un electrón en una determinada caja monodimensional, la transición observada de menor frecuencia es $2.0 \times 10^{14}$ s$^{-1}$. Calcular la longitud de la caja.

27

Teniendo en cuenta las condiciones de continuidad que la función de onda debe satisfacer, que pasaría a los niveles de energía de una partícula en una caja monodimensional si la longitud de la caja cambia de $a$ a $a/j$ ($j=2,3, ...$).

28

Encontrar las funciones de onda y las correspondientes energías para los estados estacionarios de una partícula en una caja de potencial tridimensional de lados $a, b$ y $c$.

29

Para una partícula en una caja cúbica de lado $a$: (a) ¿Cuántos estados tienen energías en el rango de 0 a $16h^2/8ma^2$? (b) ¿Cuántos niveles de energía caen en ese rango?.

30

Para una partícula en una caja tridimensional de lados $a, b$ y $c$ con $a \ne b=c$, hacer una tabla de $n_x, n_y, n_z$, las energías y las degeneraciones de los niveles con números cuánticos en el rango de 1 a 5 (Tomar $a^2/b^2=2$).

31

Comprobar que la función $\phi = N \exp ( -\alpha x^2/2 )$ es solución de la ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico. Relacionar $\alpha$ con la constante de fuerza del oscilador y la masa de la partícula, y calcular la energía correspondiente a esa solución. Calcular el valor medio de la posición de la partícula.

32

La molécula $HI$ tiene una constante de fuerza de enlace de 314 Nm$^{-1}$. Calcular para $^1H^{127}I$ y $^2D^{127}I$: (a) La frecuencia vibracional clásica en s$^{-1}$, (b) el número de onda correspondiente a la transición de $n=0$ a $n=1$ en el espectro vibracional.

33

Calcular la frecuencia de la radiación emitida cuando un oscilador armónico de frecuencia 6.0 $\times 10^{13} s^{-1}$ salta del nivel $v=8$ al $v=7$.