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\markboth{\bf {Problemas de Fundamentos de Química Cuántica (2000/01)
$\;\;\;\;\;\;\;$ 1$^o$ de C. Químicas.}}
{{\bf Problemas de Fundamentos de Química Cuántica (2000/01)
$\;\;\;\;\;\;\;$ 1$^o$ de C. Químicas.}}


\begin{document}
\newcounter{problemas}
\begin{list}{\arabic{problemas}}
  {\usecounter{problemas}
  }

\setcounter{problemas}{14}

\item Calcular el módulo de (a) $-2$, (b) $3-2i$, (c) $\cos
\theta + i \mbox{sen} \, \theta$, (d) $y \exp(iax)$.

\item Probar que $(fg)^* = f^* g^*$ donde $f$ y $g$ son cantidades
complejas.

\item Verificar que si $\Psi$ es una solución de la ecuación de
Schr\"{o}dinger dependiente del tiempo, entonces $c \Psi$ es también
solución siendo $c$ una constante.

\item Comprobar que las funciones $\Psi(x,t) = A  \exp[2\pi i
(\pm x/\lambda -\nu t)]$  son soluciones de la ecuación de Schr\"odinger
monodimensional dependiente del tiempo
de una partícula libre. Suponiendo que $\lambda$ es la longitud de
onda de De Broglie, expresar $\nu$ en función del momento lineal $p$.

\item Si la posición de un electrón se mide con una precisión de $\pm
0.001$ \AA~¿Cuál será la máxima precisión para el momento? 

\item Un átomo sufre una transición desde un estado excitado con un
tiempo de vida de 1 ns al estado fundamental, y emite un fotón con una
longitud de onda de 600 nm. Calcular la incertidumbre en la energía del
estado excitado.

\item Hallar la longitud de onda de la luz emitida cuando una partícula
de $1.0 \times 10^{-27}$ g en una caja monodimensional de 30 nm pasa del
nivel $n=2$ al nivel $n=1$.

\item Calcular la energía en electronvoltios (eV) de los niveles $n=1,
2$ y 3 de un electrón en una caja de potencial monodimensional de
longitud $a=560$ pm.

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\put(12.3,4.5){\makebox(0,0)[l]{$\psi_3(x)$}}
\end{picture}
%\vspace*{13cm}
\end{figure}

\begin{figure}[htb]
\setlength{\unitlength}{1.cm}%
\begin{picture}(10,5)(0,0)
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\put(1.9,1.7){\makebox(0,0){$0$}}
\put(5.45,1.7){\makebox(0,0){$a$}}
\put(1.3,4.5){\makebox(0,0)[l]{$|\psi_1(x)|^2$}}
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\put(7.4,1.7){\makebox(0,0){$0$}}
\put(10.95,1.7){\makebox(0,0){$a$}}
\put(6.8,4.5){\makebox(0,0)[l]{$|\psi_2(x)|^2$}}
\put(12.,2.){\ \psfig{file=fig26c.ps,height=2.cm,width=5.cm,clip=}}
\put(12.9,1.7){\makebox(0,0){$0$}}
\put(16.45,1.7){\makebox(0,0){$a$}}
\put(12.3,4.5){\makebox(0,0)[l]{$|\psi_3(x)|^2$}}
\end{picture}
%\vspace*{0.5cm}
%\caption{}
%\label{fig1}
\end{figure}

\item Para una partícula en el estado estacionario $n$ de una caja
monodimensional de longitud $a$, encontrar la probabilidad de que la
partícula esté en la región $0 \le x \le a/4$.

\item Para el estado fundamental de una partícula en una caja
monodimensional de longitud $a$, encontrar la probabilidad de que la
partícula esté entre $\pm 0.001a$ del punto $a/2$.
Calcular el valor medio de la posición y el momento.

\item Para el estado estacionario de número cuántico $n$ de la partícula
en una caja, escribir una expresión para la probabilidad de que la
partícula se encuentre entre $a/4$ y $a/2$.

\item Para un electrón en una determinada caja monodimensional, la
transición observada de menor frecuencia es $2.0 \times 10^{14}$
s$^{-1}$. Calcular la longitud de la caja.

\item Teniendo en cuenta las condiciones de continuidad que la función
de onda debe satisfacer, que pasaría a los niveles de energía de una
partícula en una caja monodimensional si la longitud de la caja cambia
de $a$ a $a/j$ ($j=2,3, ...$).

\item Encontrar las funciones de onda y las correspondientes energías
para los estados estacionarios de una partícula en una caja de potencial
tridimensional de lados $a, b$ y $c$.

\item Para una partícula en una caja cúbica de lado $a$: (a) ¿Cuántos
estados tienen energías en el rango de 0 a $16h^2/8ma^2$? (b) ¿Cuántos
niveles de energía caen en ese rango?.

\item Para una partícula en una caja tridimensional de lados $a, b$ y
$c$ con $a \ne b=c$, hacer una tabla de $n_x, n_y, n_z$, las energías y
las degeneraciones de los niveles con números cuánticos en el rango de 1
a 5 (Tomar $a^2/b^2=2$).

\item Comprobar que la función $\phi = N \exp ( -\alpha x^2/2 ) $ es
solución de la ecuación de Schr\"{o}dinger para un oscilador armónico.
Relacionar $\alpha$ con la constante de fuerza del oscilador y la masa
de la partícula, y calcular la energía correspondiente a esa solución.
Calcular el valor medio de la posición de la partícula.

\item La molécula $HI$ tiene una constante de fuerza de enlace de 314
Nm$^{-1}$. Calcular para $^1H^{127}I$ y $^2D^{127}I$: (a) La frecuencia
vibracional clásica en s$^{-1}$, (b) el número de onda correspondiente a
la transición de $n=0$ a $n=1$ en el espectro vibracional.

\item Calcular la frecuencia de la radiación emitida cuando un
oscilador armónico de frecuencia 6.0$\times 10^{13} s^{-1}$ salta del
nivel $v=8$ al $v=7$.
\end{list}
\end{document}
