Examen de Fundamentos de Química Cuántica (Junio 2003)

Puntuación:

• Cada respuesta correcta suma 1/2 punto.
• Cada respuesta incorrecta (o múltiple) resta 1/6 punto.
• Cada pregunta no contestada no puntúa.

Resulta conveniente contestar solamente aquellas preguntas cuya respuesta se conozca con seguridad. Sólo hay una respuesta correcta en cada pregunta.

En la hoja de respuestas no olvidéis rellenar:

• el nombre y apellidos.
• el DNI.
• el MODELO (Importante: toda hoja de respuestas sin modelo equivale a un suspenso).

1. La interpretación de los experimentos de radiación de cuerpo negro ha sido posible tras aceptar:
   1. Que la energía de la materia está cuantizada.
   2. El principio de indeterminación.
   3. El dualismo onda-corpúsculo.
   4. Que la energía de la radiación electromagnética está cuantizada.
2. Un electrón que se mueve con un momento lineal o cantidad de movimiento $p$:
   1. Lleva una onda asociada cuya longitud de onda vale $\lambda=h/p$ pero no puede medirse.
   2. Lleva una onda asociada cuya longitud de onda vale $\lambda=h/p$ y puede medirse.
   3. Lleva una onda asociada cuya longitud de onda vale $\lambda=\frac{p^2}{2m}$ y puede medirse
   4. No lleva una onda asociada que pueda medirse.
3. El principio de indeterminación de Heisenberg establece que:
   1. No es posible conocer simultáneamente y con absoluta precisión la posición y el momento lineal de una partícula.
   2. Es posible conocer simultáneamente y con absoluta precisión la posición y el momento lineal de una partícula.
   3. No es posible conocer con absoluta precisión la posición de una partícula.
   4. El momento lineal de una partícula y su posición dependen de la lontigud de onda.
4. La función de onda $\Psi(x,t)$ de un estado estacionario de una partícula que se mueve a lo largo del eje $x$ con una energía potencial independiente del tiempo cumple:
   1. $\Psi(x,t) = \psi(x)$
   2. $\Psi(x,t) = \psi(x)\, e^{-i \frac{E}{\hbar} t}$
   3. $\Psi(x,t) = \psi(x)\, \lambda\,t$
   4. $\Psi(x,t) = \psi(x)\, \mbox{sen}(kt)$

5. Una función de onda $\psi(x)$ se normaliza para que:
   1. Su cuadrado complejo $\psi(x)^{*}\psi(x)$ sea proporcional a la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en $x$.
   2. Sea una función de onda aceptable.
   3. Cumpla la Ecuación de Scrhödinger independiente del tiempo.
   4. Su cuadrado complejo $\psi(x)^{*}\psi(x)$ sea igual a la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en $x$.
6. En Mecánica Cuántica, a cada propiedad observable corresponde un operador, cuya expresión:
   1. Se obtiene a partir su expresión en mecánica clásica en función de $x$, $p_{x}$, ..., aplicando la ecuación de Schrödinger.
   2. Se obtiene a partir del principio de indeterminación de Heisenberg sin utilizar la mecánica clásica.
   3. Se obtiene a partir de su expresión en mecánica clásica en función de $x$, $p_{x}$, ..., sustituyendo $x \rightarrow x$, $p_{x} \rightarrow -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$, ...
   4. Se postula independientemente para cada observable.
7. Cuando una partícula en una caja monodimensional de longitud $a$ se encuentra en un estado descrito por la función de onda $\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\,\mbox{sen}\frac{4\pi x}{a}\,\,\,\,(0\le x\le a)$:
   1. La densidad de probabilidad de encontrarla en $x=a/4$ es nula.
   2. La densidad de probabilidad de encontrarla en $x=a/4$ es mayor que en $x=3a/4$.
   3. La densidad de probabilidad de encontrarla en $x=a/2$ es mayor que en $x=a/4$.
   4. La probabilidad de encontrarla en $x>a$ no es nula.
8. Los niveles de energía de una partícula en una caja tridimensional con los tres lados iguales, $a=b=c$:
   1. Son degenerados si los tres números cuánticos son iguales.
   2. Tienen una degeneración máxima de 3.
   3. No pueden ser degenerados.
   4. Son degenerados si dos de los números cuánticos son distintos.
9. En el oscilador armónico monodimensional:
   1. Todos los niveles de energía son doblemente degenerados.
   2. Todos los niveles de energía están triplemente degenerados.
   3. No existe degeneración en ningún nivel de energía.
   4. No es posible saber si existe degeneración en sus niveles de energía.
10. La función de onda del estado fundamental de un oscilador armónico monodimensional tiene la forma:
    1. $\psi(x) = N\,x\,e^{-\alpha\,x^2}$.
    2. $\psi(x) = N\,e^{-\alpha\,x^2}$.
    3. $\psi(x) = N\,e^{-\alpha\,x}$.
    4. $\psi(x) = N\,x\,e^{-\alpha\,x}$.

11. El efecto túnel, dada una barrera de cierta altura y anchura, común para electrones y protones:
    1. Es más importante en una reacción de transferencia de protones que en una de transferencia de electrones.
    2. Tiene la misma importancia en una reacción de transferencia de electrones que en una de transferencia de protones.
    3. No tiene ninguna importancia en las reacciones de transferencia de electrones ni en las de transferencia de protones.
    4. Es más importante en una reacción de transferencia de electrones que en una de transferencia de protones.
12. El estado estacionario de un rotor rígido de números cuánticos $l=3$ (ó $J=3$) y $m=-3$ tiene un momento angular
    1. Cuyo módulo vale $\sqrt{12}\,\hbar$ y cuya componente $z$ vale $3~\hbar$.
    2. Cuyo módulo vale ${3}\,\hbar$ y cuya componente $z$ vale $-3~\hbar$.
    3. Cuyo módulo vale $\sqrt{3}\,\hbar$ y cuya componente $z$ vale $3~\hbar$.
    4. Cuyo módulo vale $\sqrt{12}\,\hbar$ y cuya componente $z$ vale $-3~\hbar$.
13. Los orbitales $2p_x$ y $2p_y$ del átomo de hidrógeno:
    1. Son funciones propias a la vez de los operadores $\hat{H}$ y $\hat{L}_z$.
    2. Son funciones propias a la vez de los operadores $\hat{H}$ y $\hat{L}^2$.
    3. Son funciones propias a la vez de los operadores $\hat{H}$, $\hat{L}^2$ y $\hat{L}_z$.
    4. Sólo son funciones propias del operador $\hat{H}$.
14. Los números cuánticos del orbital del átomo de hidrógeno $\psi = N r^2 e^{-\frac{r}{3a_o}} \mbox{sen}^2\theta \; e^{-2\,i\varphi}$ son:
    1. $n=3$, $\ell=2$, $m=-2$.
    2. $n=3$, $\ell=2$, $m=2$.
    3. $n=3$, $\ell=1$, $m=-2$.
    4. $n=2$, $\ell=3$, $m=-2$.
15. La condición de normalización de un orbital hidrogenoide $\psi_{nlm}$ es:
    1. $\int_{r=0}^{\infty}\,\int_{\theta=0}^{\pi}\,\int_{\varphi=0}^{2\pi}\, \psi_{nlm}^{*}\psi_{nlm}\,dr\,d\theta\,d\varphi = 1$.
    2. $\int_{r=0}^{\infty}\,\int_{\theta=0}^{\infty}\,\int_{\varphi=0}^{\infty}\, \psi_{nlm}^{*}\psi_{nlm}\,dr\,d\theta\,d\varphi = 1$.
    3. $\int_{r=0}^{\infty}\,\int_{\theta=0}^{\pi}\,\int_{\varphi=0}^{2\pi}\, \psi_{nlm}^{*}\psi_{nlm}\,r^2\,\mbox{sen}\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi = 1$.
    4. $\int_{r=0}^{\infty}\,\int_{\theta=0}^{2\pi}\,\int_{\varphi=0}^{2\pi}\, \psi_{nlm}^{*}\psi_{nlm}\,r^2\,\mbox{sen}\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi = 1$.
16. En el átomo de He, la función
    
    $$\Psi(1,2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left\vert \begin{array}{ll} 1... ...ta(1) \\ 1s \alpha(2) & 1s \beta(2) \end{array} \right\vert$$
    
    
    1. Es la solución exacta de la ecuación de Schrödinger que corresponde al estado fundamental.
    2. Es la única función aceptable para cualquier estado.
    3. Tiene dos filas iguales y se anula.
    4. Es una función aproximada aceptable para el estado fundamental.

17. La configuración excitada $1s^1 2s^1$ del átomo de He da lugar a:
    1. Dos niveles de energía distintos, con un estado cada uno.
    2. Un nivel de energía con un solo estado.
    3. Dos niveles de energía distintos, con uno y tres estados respectivamente.
    4. Un nivel de energía con cuatro estados.
18. Sea $E_{exacta}$ la energía correspondiente a la solución exacta del estado fundamental del átomo de He. Si dicho estado se representa con la siguiente función de onda normalizada:
    
    $$\Psi_{\zeta} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left\vert \begin{array}{ll... ...ta(1) \\ 1s \alpha(2) & 1s \beta(2) \end{array} \right\vert$$
    
    
    en la que $1s(1)=N\,\, e^{-\frac{\zeta}{a_o} r_1}$ y $1s(2)=N\,\, e^{-\frac{\zeta}{a_o} r_2}$, y la energía se calcula utilizando el hamiltoniano exacto por medio de $\langle E\rangle =\langle\Psi_{\zeta} \vert \hat{H} \vert \Psi_{\zeta}\rangle$:
    1. $\langle E\rangle < E_{exacta}$ sea cual sea el valor de $\zeta$ que se elija
    2. $\langle E\rangle > E_{exacta}$ sea cual sea el valor de $\zeta$ que se elija
    3. $\langle E\rangle = E_{exacta}$ sea cual sea el valor de $\zeta$ que se elija
    4. $\langle E\rangle = E_{exacta}$ solamente para cierto valor de $\zeta$
19. El Hamiltoniano electrónico de la molécula HeLi$^{3+}$, donde los subíndices 1 y 2 se refieren a los electrones, es:
    1. $- \frac{\hbar^2}{2m} \hat{\nabla}_1^2 - \frac{\hbar^2}{2m} \hat{\nabla}_2^2 +... ...}{r_{1Li}} - \frac{3}{r_{2Li}} + \frac{1}{r_{12}} + \frac{6}{R_{HeLi}} \right)$
    2. $\frac{\hbar^2}{2m} \hat{\nabla}_1^2 + \frac{\hbar^2}{2m} \hat{\nabla}_2^2 + ... ...}{r_{1Li}} - \frac{3}{r_{2Li}} + \frac{1}{r_{12}} + \frac{6}{R_{HeLi}} \right)$
    3. $- \frac{\hbar^2}{2m} \hat{\nabla}_1^2 - \frac{\hbar^2}{2m} \hat{\nabla}_2^2 +... ...}{r_{1Li}} + \frac{3}{r_{2Li}} + \frac{1}{r_{12}} + \frac{6}{R_{HeLi}} \right)$
    4. $- \frac{\hbar^2}{2m} \hat{\nabla}_1^2 - \frac{\hbar^2}{2m} \hat{\nabla}_2^2 +... ...}{r_{1Li}} - \frac{1}{r_{2Li}} + \frac{1}{r_{12}} + \frac{1}{R_{HeLi}} \right)$
20. En la aproximación de Born-Oppenheimer la función de onda molecular se aproxima como $\Psi_{BO} = \Psi_{elec} \Psi_{nuc}$. En un primer paso:
    1. $\Psi_{elec}$ se obtiene fijando las posiciones de los núcleos y resolviendo $\hat{H}_{elec} \Psi_{elec} = E_{elec} \Psi_{elec}$, con $\hat{H}_{elec} = \hat{T}_{elec} + \hat{V}_{nuc-elec} + \hat{V}_{elec-elec} + \hat{V}_{nuc-nuc}$
    2. $\Psi_{elec}$ se obtiene fijando las posiciones de los núcleos y resolviendo $\hat{H}_{elec} \Psi_{elec} = E_{elec} \Psi_{elec}$, con $\hat{H}_{elec} = \hat{T}_{elec} + \hat{V}_{nuc-elec} + \hat{V}_{nuc-nuc}$
    3. $\Psi_{elec}$ se obtiene fijando las posiciones de los núcleos y resolviendo $\hat{H}_{elec} \Psi_{elec} = E_{elec} \Psi_{elec}$, con $\hat{H}_{elec} = \hat{T}_{elec} + \hat{V}_{elec-elec} + \hat{V}_{nuc-nuc}$
    4. $\Psi_{nuc}$ se obtiene fijando las posiciones de los electrones y resolviendo $\hat{H}_{nuc} \Psi_{nuc} = E_{nuc} \Psi_{nuc}$, con $\hat{H}_{nuc} = \hat{T}_{nuc} + \hat{V}_{elec-elec}$