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\def\casoa{{\bf (a)}}
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\newcommand{\sen}{\mathop{\rm sen}\nolimits}

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\pagestyle{empty}

\begin{document}

\begin{center}
{\bf
{Fundamentos de Qu\'{\i}mica Cu\'antica}\hfill{$1^o$ Qu\'{\i}mica}\\
{Examen de septiembre 2002: Problemas y 20\% espec\'{\i}fico}
}
\hrule
%--------------------------------------------
\begin{tabular}{|l|}
\hline
\\[-2mm]
$\hat{\nabla}^2$  =  $ \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} 
           \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right)
            +
           \frac{1}{r^2 \mbox{sen} \theta}
           \frac{\partial}{\partial \theta} 
           \left( \mbox{sen} \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right)
            +
           \frac{1}{r^2 \mbox{sen}^2 \theta}
           \frac{\partial^2}{\partial \phi^2}        $ \\[2mm] 
  $ \int_0^\infty e^{-\alpha x^2} \,dx =
       \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{\alpha} \right)^\frac{1}{2} $ \\[2mm]
$a_o = \frac{\hbar^2}{m_e\,{e^\prime}^2} 
     = \frac{\hbar^2\,4\pi\epsilon_o}{m_e\,e^2} = 0.529 \mbox{\AA}$ \\[2mm]
% $ \int \mbox{sen}^2 (kx) \,dx =
%      \frac{x}{2} - \frac{1}{4k} \mbox{sen} (2kx) + C $ \\[2mm]
% $ \int \mbox{cos}^2 (kx) \,dx =
%      \frac{x}{2} + \frac{1}{4k} \mbox{sen} (2kx) + C $ \\[2mm]
% $ \int \mbox{sen}^3 (kx) \,dx =
%      -\frac{\mbox{cos} (kx)}{3k} \left( \mbox{sen}^2 (kx) + 2 \right) + C $ \\[2mm]
% $ \int_0^{\infty} r^n e^{-\alpha\,r} \,dr = \frac{n!}{\alpha^{n+1}} $ \\[2mm]
\hline
\end{tabular}
%--------------------------------------------
\end{center}
\hrule
\vspace{-5mm}

\begin{enumerate}
%....................................................................
% 1
\item {\bf [2 puntos]}\\
El estado fundamental del He$^+$ se puede representar mediante el
orbital normalizado:
$$
\psi = \left( \frac{\alpha^3}{\pi} \right)^\frac{1}{2} \;
       e^{-\alpha\,r}\,
$$

\casoa~
Comprobad que para que $\psi$ sea autofunci\'on del hamiltoniano
es necesario que el par\'ametro $\alpha$ tome el
valor $\alpha=\frac{Z}{a_o}$.
\newline
\casob~
Calculad el valor medio de la distancia electr\'on-n\'ucleo
en dicho estado.
\newline
\casoc~
Calculad el valor medio de la energ\'{\i}a potencial 
en dicho estado.
\newline
\casod~
?`Cu\'anto vale el m\'odulo del momento angular en dicho estado?

\vspace{5mm}
\hrule
%....................................................................
% 2
\item {\bf [2 puntos]}\\
La funci\'on de onda de un estado estacionario de un oscilador
arm\'onico monodimensional es:
$$
% \psi = \left( \frac{\alpha}{\pi} \right)^\frac{1}{4} \, 
%         e^{-\frac{\alpha}{2}\,x^2}
\psi = N \, e^{-\frac{\alpha}{2}\,x^2}
$$

\casoa~
Calculad la constante de normalizaci\'on.
\newline
\casob~
Encontrad los nodos de esta funci\'on.
\newline
\casoc~
Encontrad los valores de $x$ en los que su densidad de probabilidad es m\'axima.
\newline
\casod~
Calculad la probabilidad de que $x$ este comprendida entre
$x=0$ y $x=\infty$

\vspace{5mm}
\hrule
%....................................................................
% 3
\item {\bf [2 puntos]}\\
Responda brevemente a las siguientes preguntas:

\casoa~
Para el átomo de Berilio, escriba la configuración electrónica correspondiente al
estado fundamental y deduzca, a partir de ella, cuál es el termino espectral de
menor energía.
\newline
\casob~
Para el átomo de Berilio, escriba la configuración electrónica correspondiente al
primer estado excitado y deduzca, a partir de ella, cuál es el termino espectral de
menor energía.
\newline
\casoc~
Proponga una función de onda electrónica aceptable para describir, de forma aproximada,
el estado fundamental del átomo de Berilio.

\vspace{5mm}
\hrule
%....................................................................


\end{enumerate}
\end{document}
