Fundamentos de Química Cuántica

1$^0$ de Ciencias Químicas

Examen 13 de septiembre 2007 (problemas)

1. Una partícula de masa $m$ se encuentra en una caja bidimensional de potencial infinito de lados $a$ y $b$, con $b=a\sqrt{2}$.
   1. Obtener la función de onda normalizada que es solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para dicha partícula.

   2. Obtener, sustituyendo la función de onda en la ecuación de Schrödinger, la expresión de la energía para un estado con números cuánticos $n_x$ y $n_y$.

   3. Haz un diagrama mostrando los 5 niveles energéticos de menor energía, e indica su degeneración.

   Datos:

   Las soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para una partícula en una caja de potencial monodimensional de longitud $d$ tienen la forma:
   

   $$\psi_{n_x}(x) = \sqrt{\frac{2}{d}} \, \, {\rm {sen}}\left(\frac{n_x \pi x}{d} \right)\; \, \, \mbox{con $0\leq x \leq d$\ y $n_x$=1\,,2\,,3\,, ...}$$

   
   

2. La función de onda normalizada del estado fundamental de un oscilador armónico de masa $\mu$ y constante de fuerza $k$ es
   
   $$\psi(x) = \left(\frac{\beta}{\pi}\right)^{\frac{1}{4}} e^{-\... ...pace*{1.0cm} \mbox{con} \,\, \beta = \frac{\sqrt{k\mu}}{\hbar}$$
   
   
   1. Representar las gráficas de las funciones $\psi(x)$ y $\vert\psi(x)\vert^2$, junto con la curva de energía potencial del sistema, $V(x) = \frac{1}{2} kx^2$.
   2. Calcular el valor medio de la posición $\langle x \rangle$.
   3. Calcular la probabilidad de encontrar la partícula en la mitad derecha ( $0 \le x \le \infty$).
   4. Calcular la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en $x =0$.
      

   Datos:
   

   $$\int^{\infty}_{-\infty} x^{2n+1} e^{-a x^2} \ dx = 0 \ , \h... ...}\ n!\ a^{n+\frac{1}{2}}}, \ \ \ \ \mbox{($n$\ entero, $a>0$)}$$
   
   
   
   
   $$\int^{\infty}_{0} x^{2n} e^{-a x^2} \ dx = \frac{(2n!)\ \sqr... ...}\ n!\ a^{n+\frac{1}{2}}}, \ \ \ \ \mbox{($n$\ entero, $a>0$)}$$
   
   

3. Responder brevemente a las siguientes preguntas:
   1. Para el catión Be$^+$ en su estado fundamental
      1. Escribir el hamiltoniano.
      2. Escribir una función de onda que represente correctamente el catión con una configuración electrónica $(1s)^2 (2s)^1$.
      3. Obtener los términos espectrales correspondientes a dicha configuración.

   2. Para el átomo de Be en su configuración excitada $(1s)^2 (2s)^1 (2p)^1$.
      1. Obtener los términos espectrales permitidos.
      2. Ordenar los términos por orden creciente de energías usando las reglas de Hund, suponiendo que se pueden aplicar en este caso.