1. [2 puntos]
   

   Sea un sistema formado por una partícula de masa $m$ en una caja en tres dimensiones, $a$, $b$ y $c$, tales que $b=a$ y $c=\sqrt{2}a$.

   1. Dibuja un diagrama de niveles de energía para el sistema, en unidades de $\frac{h^2}{8ma^2}$, para los 4 primeros niveles energéticos, indicando su degeneración.
   2. Escribe la función de onda del estado fundamental.
   3. Si la partícula es un electrón y $a=$1 Å, calcula la longitud de onda y el número de ondas para la transición desde el estado fundamental hasta el primer estado excitado del sistema.
   
   
   
   
   
2. [2.5 puntos]
   

   Dada la función de onda siguiente para un átomo de hidrógeno
   

   $$\Psi = \left( \frac{1}{32 \pi a_0^3} \right)^{1 \over 2} \, (2 - \frac{r}{a_0}) \, e^{-\frac{r}{2a_0}}$$
   
   
   1. Determina, de manera razonada, los números cúanticos que caracterizan la función. ¿De qué orbital de trata?
   2. Escribe la energía de este estado en función de constantes fundamentales ($\hbar$, $e$, $m_e$,...).
   3. Halla los máximos y mínimos de la función de distribución radial para ese estado.
   4. Obtén el valor esperado de $\hat{r}$ para el átomo en ese estado.
   
   
   
   
   $$\int^{\infty}_0 r^{n} e^{-\beta r} \ dr = \frac{n!}{\beta^{n+1}}, \ \ \ \ (n>0, \beta >0)$$
   
   
   
   
   
3. [1.5 puntos]
   

   Sea un átomo de Be

   1. Escribe la configuración electrónica del estado fundamental y la del primer estado excitado.
   2. Escribe una función de onda aproximada válida para el estado fundamental y otra para el primer estado excitado del sistema.
   3. Escribe el hamiltoniano electrostático no relativista del sistema.
   4. Halla los términos espectrales a los que dan lugar cada una de las configuraciones electrónicas e indica cúal de ellos es el de menor energía en cada caso.
   
   
   Datos
   $m_e$ = 9.109 $\times$ 10$^{-31}$ kg $h$ = 6.626 $\times$ 10$^{-34}$ J$\cdot$s
   $c$ = 2.998 $\times$ 10$^{8}$ m/s 1 Å= 10$^{-10}$ m