1. [2 puntos]
   

   La función de onda del estado fundamental de un oscilador armónico de masa $m$ y constante de fuerza $k$ es
   

   $$\psi = \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{\frac{1}{4}} e^{-\fr... ...,\,\,\,\,\, \mbox{con}\,\,\, \alpha = \frac{\sqrt{km}}{\hbar}$$
   
   
   1. Esboza la gráfica de las funciones $\psi$ y $\psi^2$, junto con la curva de potencial del sistema, $V(x) = \frac{1}{2} kx^2$.
   2. Comprueba que la función de onda está normalizada.
   3. Calcula el valor medio de $x$.
   4. Calcula, en función de $\alpha$, el valor o los valores de $x$ correspondientes a máximos de la densidad de probabilidad.
   
   
   
   
   $$\int^{\infty}_{-\infty} x^{2n+1} e^{-\alpha x^2} \ dx = 0, ... ...{2^{2n+1}\, n!\, a^{n+\frac{1}{2}}}, \ \ \ \ \mbox{(n entero)}$$
   
   

   
   
   

2. [2 puntos]
   

   Un electrón se encuentra en un estado estacionario del átomo de hidrógeno descrito por el siguiente orbital:
   

   $$\psi_{n,\ell,m} = N_{n,\ell,m} \, r\, e^{-\frac{r}{2a_0}} \, \cos{\theta}$$
   
   
   donde la constante de normalización vale $N_{n,\ell,m} = \frac{1}{4\sqrt{2 \pi}} \, \left(\frac{1}{a_0}\right)^{5/2}$
   1. Comprueba que la constante de normalización $N_{n,\ell,m}$ es correcta.
   2. Calcula el valor más probable de la distancia electrón-núcleo, $r$.
   3. Calcula el valor medio de la distancia electrón-núcleo, $r$.
   4. Calcula los nodos radiales y angulares que tenga.
   5. Obtén los valores de los números cuánticos $n$, $\ell$ y $m$ y di de qué orbital se trata.
   
   
   
   
   $$\int^{\infty}_0 r^{n} e^{-\alpha r} \ dr = \frac{n!}{\alpha^{n+1}}, \ \ \ \ (n>0, \alpha >0)$$
   
   

   
   
   

3. [2 puntos]
   

   Sea una caja de potencial cuadrada de lado $a= 2\ \mbox{\AA}$ en cuyo interior se encuentra un electrón. Sabiendo que la función de onda de una partícula en una caja monodimensional es
   

   $$\Psi_n (x) = \left(\frac{2}{a}\right)^{1/2} \mathop{\rm sen}\nolimits (\frac{n\pi x}{a})$$
   
   
   y que la energía correspondiente es
   
   $$E_n = \frac{n^2 h^2}{8ma^2}$$
   
   
   responde a las siguientes cuestiones para la caja cuadrada:
   1. Escribe la función de onda normalizada para el estado fundamental del sistema.
   2. Calcula la energía del estado fundamental.
   3. Calcula la energía del primer estado excitado y la degeneración de ese nivel de energía.
   4. Escribe la función de onda de los estados cuya energía corresponde a la calculada en el apartado anterior.
   5. Calcula el número de ondas (en cm$^{-1}$) de la luz capaz de producir en el sistema una transición del estado fundamental al primer estado excitado.
   
   
   $m_e$ = 9.11 $\times$ 10$^{-31}$ kg $h$ = 6.63 $\times$ 10$^{-34}$ J$\cdot$s
   $c$ = 3.00 $\times$ 10$^{8}$ m/s 1 Å= 10$^{-10}$ m