Examen de problemas de Septiembre de 2003.

1. [2 puntos]
   Un electrón se encuentra en una caja monodimensional de longitud $a$. Se ha observado que la longitud de onda de la transición desde el estado fundamental hasta el primer estado excitado es $\lambda=3018$ Å.
   1. Calculad el valor de la longitud de la caja, $a$, en Å.
   2. El estado fundamental de dicho electrón está descrito por la función de onda
      $\psi(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\,\mbox{sen}\frac{\pi x}{a}$, con ($0 \le x \le a$). Comprobad que es una solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo.
   3. Comprobad que la función de onda del apartado anterior está normalizada.
   4. Calculad la probabiliad de encontrar al electrón en el intervalo ( $0 \le x \le a/4$) cuando está en su estado fundamental.
   [ $m_e = 9.1093897 \times 10^{-31}$ kg, $h = 6.6260755 \times 10^{-34}$ J s, $c = 299~792~458$ m s$^{-1}$, 1 m$= 10^{10}$ Å ]
   
   $\int \mbox{sen}^2(k\theta) \, d\theta = \frac{\theta}{2} - \frac{1}{4k} \mbox{sen}(2k\theta) +\,\,C$
2. [2 puntos]
   Un electrón se encuentra en un estado estacionario del átomo de hidrógeno descrito por el siguiente orbital: $\psi_{n\ell m} = N_{n\ell m}\,(2a_o - r)\,e^{-\frac{1}{2a_o}r}\,$, con constante de normalización $N_{n\ell m} = \left( \frac{1}{32 \pi a_o^5} \right)^{1/2}$
   1. Comprobad que la constante de normalización es correcta.
   2. Calculad el valor medio de la distancia electrón-núcleo.
   3. Calculad el valor medio de la energía potencial.
   4. Calculad los nodos radiales y angulares que tenga.
   5. Obtened los números cuánticos $n$, $\ell$ y $m$ y decid de qué orbital se trata.
   
   
   $$\int_{0}^{\infty} r^n \, e^{-\alpha r} \, dr = \frac{n!}{\alpha^{n+1}} \,,\;\; (n>0, \alpha >0)$$
   
   

3. [2 puntos]
   Elige una de entre las dos preguntas siguientes:
   1. Muestra que el principio de indeterminación de Heisenberg está contenido en la ecuación de Schrödinger, utilizando el estado fundamental y el primer estado excitado de una partícula en una caja monodimensional de longitud $a$.
   2. Obtén el término espectral más estable de los átomos siguientes y di cuál es su degeneración:
      1. El átomo de Na en su configuración $(1s)^2 (2s)^2 (2p)^6 (3s)^1$.
      2. El átomo de F en su configuración $(1s)^2 (2s)^2 (2p)^5$.
      3. El átomo de Be en su configuración excitada $(1s)^2 (2s)^1 (2p)^1$.
      4. El átomo de Sc en su configuración $(1s)^2 (2s)^2 (2p)^6 (3s)^2 (3p)^6 (3d)^2 (4s)^1$.
   
   
   La primera versión de este examen fue escrita en html por José Luis García de Paz. Departamento de Química Física Aplicada, C-XIV-602. e-mail: depaz@uam.es