Fundamentos de Química Cuántica 1$^0$ de Ciencias Químicas

Examen 23 de junio de 2008 (problemas)

1. (4 puntos)

Sabiendo que las autofunciones normalizadas para una partícula de masa $m$ en una caja monodimensional de longitud $a$ son:

$$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sen {\frac{n\pi x}{a}}, \qquad 0 \le x \le a$$

a)

Dada la función de onda $\psi(x)$ representada en la siguiente figura, indicad a qué estado estacionario $\psi_n(x)$ representa. Razonadlo brevemente.

b)

Determinad los valores medios de la energía cinética y energía potencial para el caso general y a partir de ellas obtened el valor medio de la energía total.

c)

Obtened el valor de la función de onda y de la densidad de probabilidad en los puntos $x=a/4$ y $x=3a/8$.

2. (4 puntos)

La energía de un estado estacionario del átomo de hidrógeno viene dada por la siguiente expresión:

$$E_n= - {1 \over {(4 \pi \epsilon_0)^2}}{{m_e e^4} \over {\hbar^2}} \frac{1}{2 n^2} = - E_h \frac{1}{2 n^2}$$

a)

Si el estado del sistema es tal que la energía vale $E= -E_h/8$ y la componente $z$ del momento angular vale $L_z=-\hbar$, indicad razonadamente de qué estado se trata.

Sabiendo que la función de onda es de la forma:

$$\psi(r,\theta,\phi) = N \, \left(\frac{r}{a_0}\right)^\alpha... ...rac{r}{\beta a_0}} \, \sen^\gamma{\theta} \, e^{i \delta \phi}$$

indicad los valores de $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ y relacionarlos con los números cuánticos.

b)

Dado el siguiente orbital del átomo de hidrógeno

$$\psi(r,\theta,\phi) = N \, r \, e^{\textstyle -\frac{r}{2 a_0}} \, \sen{\theta} \, \sen{\phi}$$

Comprobad que la constante de normalización vale $N=\left(32 \pi a_0 ^5 \right)^{-1/2}$.

c)

Calculad, para el caso del apartado b), el valor más probable de la distancia electrón-núcleo.

La tercera pregunta se encuentra en la siguiente cara.

3. (2 puntos)

Responder brevemente a una de las siguientes preguntas (3a ó 3b):

3a.

La medida del efecto fotoeléctrico en una muestra de metal de cobre produjo el siguiente resultado:

El ajuste por mínimos cuadrados a los datos experimentales da una recta de pendiente $4.30\times 10^{-15}$ eV/Hz y una frecuencia umbral de $\nu_0=1.11\times 10^{15}$ Hz.

a)

Explicad muy brevemente por qué no se observan electrones cuando $\nu<\nu_0$

b)

Calculad la constante de Planck.

c)

Calculad la función de trabajo del cobre.

3b.

Obtened los términos espectrales que se obtienen para el átomo de Silicio en la siguiente configuración electrónica

$$1s^2 \, 2s^2 \, 2p^6 \, 3s^2 \, 3p^1 \, 3d^1$$

y ordenadlas de menor a mayor energía aplicando las reglas de Hund.

Datos: $e$ = 1.6022 $\times 10 ^{-19}$ C, $c =$ 2.9979 $\times 10^8$ m s$^{-1}$, $h =$ 6.6261 $\times 10 ^{-34}$ J s

$$\sen ^2 \theta = \frac{1}{2} \left( 1 - \cos 2 \theta \right)$$

$$\sen ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta$$

$$\int^{\infty}_0 r^{n} e^{-b r} \ dr = \frac{n!}{b^{n+1}} \ , \hspace*{0.5cm} (n> 0,\ b >0)$$