Fundamentos de Química Cuántica

1$^0$ de Ciencias Químicas

Examen 15 de junio de 2007 (problemas)

1. Considerar la siguiente función de onda aproximada para una partícula de masa $m$ en una caja monodimensional de longitud $a$:
   
   $$\psi(x) = \left\{ \begin{array}{lll} \sqrt{\frac{\textstyle... ... x > a & \mbox{ (fuera de la caja)} \\ \end{array} \right.$$
   
   
   1. Comprobar que es una función de onda aceptable.
   2. Comprobar que dicha función de onda está normalizada.
   3. Determinar el valor medio de la posición $\langle x \rangle$.
   4. Determinar el valor medio de la energía $\langle$E$\rangle$ y comparadlo con el valor exacto para la energía del estado fundamental

2. Un electrón se encuentra en un estado estacionario del átomo de hidrógeno descrito por el siguiente orbital:

   
   

   $$\psi_{n,\ell,m} = N \, r^2\, e^{\textstyle -\frac{r}{3a_0}} \, \left( 3\cos^2{\theta}-1 \right)$$
   
   

   donde la constante de normalización vale $$N = \frac{1}{81\sqrt{\pi}} \, \left(\frac{1}{a_0}\right)^{7/2}$$

   1. Obtener razonadamente los valores de los números cuánticos $n$, $\ell$ y $m$ e indicar de qué orbital se trata.
   2. Calcular el valor más probable de la distancia electrón-núcleo, $r$.
   3. Calcular los nodos radiales de la función de onda, indicando los valores de $r$ correspondientes.
   4. Calcular los nodos angulares de la función de onda, indicando los valores de $\theta$ y $\varphi$ correspondientes.

3. Responder brevemente a las siguientes preguntas:
   1. Para el átomo de carbono, escribir la configuración electrónica correspondiente al estado fundamental y deducir, a partir de ella, los términos espectrales. Ordenar dichos términos por energía aplicando las reglas de Hund.

   2. Para el catión C$^{3+}$, escribir una función de onda electrónica aceptable para describir, de forma aproximada, el estado fundamental del catión C$^{3+}$.