Examen de Problemas de junio de 2006.

1. [2 puntos]
   

   Sea, para una caja de potencial de una dimensión ($x$), la siguiente función de onda aproximada
   

   $$\psi = \left\{ \begin{array}{ll} x^2 -ax & 0 \leq x \leq a ... ...\ \ \ \ \ \ \mbox{(fuera de la caja)} \\ \end{array} \right.$$
   
   
   1. Comprobad que es una función de onda aceptable (o sea, bien comportada).
   2. Normalizad la función $\psi$.
   3. Comprobad si $\psi$ es una función propia del hamiltoniano del sistema.
   4. Determinad $\langle$E$\rangle$ y comparad con el valor exacto para la energía del estado fundamental .
   
   
   
2. [2 puntos]
   

   La función de onda del segundo estado excitado de un oscilador armónico monodimensional es:
   

   $$\Psi(x) = N_2 \, (2\alpha x^2 -1) \, e^{\scriptstyle -\frac{... ... \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \alpha = \sqrt{\frac{k \mu}{\hbar^2}}$$
   
   
   siendo $k$ la constante de fuerza del oscilador y $\mu$ la masa reducida del sistema.
   1. Comprobad que la constante de normalización $N_2$ vale
   2. Hallad $\langle$x$\rangle$.
   3. Determinad los puntos de retorno clásicos del oscilador en el estado dado arriba, expresando el resultado en función de $\alpha$
   4. Determinad la posición de los nodos de $\Psi(x)$.
   
   
   
   
   $$\int^{\infty}_{0} e^{-\beta x^{2}} \ dx = \frac{1}{2} \, \left( \frac{\pi}{\beta}\right)^{1/2}, \ \ \ \ (\beta>0) \ \ \ \$$
   
   
   
   
   $$\int^{\infty}_{0} x^{2n} e^{-\beta x^{2}} \ dx = \frac{1 \cd... ...beta^{2n+1}}\right)^{1/2}, \ \ \ \ (\beta>0, n = 1,2,3,\ldots)$$
   
   

3. [2 puntos]
   

   Sea un ion He$^{+}$ en un estado descrito por la función
   

   $$\psi = \frac{1}{\sqrt{32 \pi}} \, \left( \frac{2}{a_0} \right)^{5/2}\, r \, e^{-\frac{r}{a_0}}\, \cos{\theta}$$
   
   
   1. Determina los números cuánticos de la función.
   2. Escribe la energía de este estado en función de constantes fundamentales (e, m$_e$, h, a$_0$ ...)
   3. Calculad el valor medio (o promedio) de energía potencial $V$ del sistema en dicho estado.
   4. Determinad la posición de los máximos y mínimos de la función de distribución radial.
   
   
   
   
   $$\int^{\infty}_0 r^{n} e^{-\beta r} \ dr = \frac{n!}{\beta^{n+1}}, \ \ \ \ (n>0, \beta >0)$$