Examen de Problemas de junio de 2005.

1. [2 puntos]
   

   La función de onda del primer estado excitado de un oscilador armónico de masa $m$ y constante de fuerza $k$ es
   

   $$\psi = \left(\frac{4 \alpha^3}{\pi}\right)^{\frac{1}{4}} x e... ...,\,\,\,\,\, \mbox{con}\,\,\, \alpha = \frac{\sqrt{km}}{\hbar}$$
   
   
   1. Esboza la gráfica de las funciones $\psi$ y $\psi^2$.
   2. Calcula el valor medio de $x$.
   3. Calcula, en función de $\alpha$, el valor o los valores de $x$ correspondientes a máximos de la densidad de probabilidad.
   
   
   
   
   $$\int^{\infty}_{-\infty} x^{2n+1} e^{-\alpha x^2} \ dx = 0,$$
   
   
   
   
   
2. [2 puntos]
   

   Dada la función de onda 2$p_x$ para un átomo hidrogenoide de carga núclear $Z$
   

   $$2p_x = \frac{1}{4\,\sqrt{2\pi}} \left(\frac{Z}{a_0}\right)^{... ...{Z\,r}{2a_0}} \, \mathop{\rm sen}\nolimits {\theta} \cos{\phi}$$
   
   
   1. Calcula el valor más probable de la distancia electrón-núcleo, $r$.
   2. Compara los resultados para H, He$^+$ y Li$^{2+}$.
   3. Discute si la función 2$p_x$ es autofunción del operador $\hat{L}_z = -i \hbar \frac{\partial}{\partial \, \phi}$ y obtén el valor esperado de $\hat{L}_z$ para un átomo de H descrito por esta función.
   
   
   
   
   
3. [2 puntos]
   

   Una partícula de masa $m$ se encuentra confinada en una caja rectangular de lados $a$ y $b$ con $b = \sqrt{2}\,a$.

   1. Escribe la expresión general de las funciones de onda bien comportadas que cumplen la ecuación de Schrödinger y la expresión correspondiente a los niveles energéticos del sistema.
   2. Haz un diagrama mostrando los cinco niveles energéticos de menor energía e indicando su degeneración.
   3. Si la partícula es un electrón y $a = 1$ Å, calcula la longitud de onda $\lambda$ (en Å) de la transición desde el estado fundamental del sistema hasta el segundo estado excitado.
   
   
   $m_e$ = 9.11 $\times$ 10$^{-31}$ kg $h$ = 6.63 $\times$ 10$^{-34}$ J$\cdot$s
   $c$ = 3.00 $\times$ 10$^{8}$ m/s 1 Å= 10$^{-10}$ m