Examen de Problemas de Junio de 2003.

1. [2 puntos]
   Un oscilador armónico de masa efectiva $m$ y constante de fuerza $k$ se encuentra en el estado estacionario $v=1$, descrito por la función de onda $\psi_{v=1}(x) = N \, x \, e^{-\frac{\alpha}{2}x^2}$, en donde $\alpha=\frac{\sqrt{km}}{\hbar}$.
   1. Comprobad que la constante de normalización vale $N=\left(\frac{2\alpha^{3/2}}{\pi^{1/2}}\right)^{1/2}$
   2. Calculad el valor medio de la energía potencial en ese estado, expresándola en función de $h\nu_e$.
   3. Calculad el valor medio de la energía cinética en ese estado, expresándola en función de $h\nu_e$.
   4. Calculad el valor de la densidad de probabilidad en los puntos en los que toma su valor máximo, expresándola en función de $\alpha$.
   
   
   $$\int_{-\infty}^{\infty} x^{2n} \, e^{-a x^2} \, dx = \frac... ...;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \nu_e = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$
   
   

2. [2 puntos]
   Un electrón se encuentra en un estado estacionario del átomo de hidrógeno descrito por el siguiente orbital: $\psi_{n\ell m} = N_{n\ell m}\,r\,e^{-\frac{1}{2a_o}r}\,\cos\theta$, con constante de normalización $N_{n\ell m} = \left( \frac{1}{32 \pi a_o^5} \right)^{1/2}$
   1. Comprobad que la constante de normalización es correcta.
   2. Calculad el valor más probable de la distancia electrón-núcleo.
   3. Calculad el valor medio de la distancia electrón-núcleo.
   4. Calculad los nodos radiales y angulares que tenga.
   5. Obtened los números cuánticos $n$, $\ell$ y $m$ y decid de qué orbital se trata.
   
   
   $$\int_{0}^{\infty} r^n \, e^{-\alpha\,r} \, dr = \frac{n!}{\alpha^{n+1}} \,,\;\; (n>0, \alpha >0)$$
   
   

3. [2 puntos]
   Elige una de entre las dos preguntas siguientes:
   1. Sabiendo que la solución general de una ecuación diferencial del tipo
      
      $$\frac{d^2\psi}{dx^2}=-k^2 \psi \;\;\;\;\;\;\mbox{es}\;\;\;\;\;\; \psi(x)=A\,\mbox{sen}(kx) + B\,\cos{(kx)}$$
      
      
      obtén las funciones de onda y las energías de los estados estacionarios de una partícula en una caja monodimensional de longitud $a$.
   2. Obtén el término espectral más estable de los átomos siguientes y di cuál es su degeneración:
      1. El átomo de Mg en su configuración $(1s)^2 (2s)^2 (2p)^6 (3s)^2$.
      2. El átomo de O en su configuración $(1s)^2 (2s)^2 (2p)^4$.
      3. El átomo de C en su configuración excitada $(1s)^2 (2s)^2 (2p)^1 (3p)^1$.
      4. El átomo de Ti en su configuración $(1s)^2 (2s)^2 (2p)^6 (3s)^2 (3p)^6 (3d)^3 (4s)^1$.