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\newcommand{\sen}{\mathop{\rm sen}\nolimits}

\pagestyle{myheadings}
\markboth{\bf {Fundamentos de Química Cuántica \hfill
(Junio 2003, Problemas G16)
$\;\;\;\;\;\;\;$ 1$^o$ de C. Químicas.}}
{{\bf Fundamentos de Química Cuántica \hfill
(Junio 2003, Problemas G16) 
$\;\;\;\;\;\;\;$ 1$^o$ de C. Químicas.}}

\begin{document}


\begin{enumerate}


%%%%%%% PAGINA 1  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%....................................................................
% 1
\item {[2 puntos]}\\
Un oscilador armónico de masa efectiva $m$ y constante de fuerza $k$
se encuentra en el estado estacionario $v=1$, 
descrito por la función de onda
$\psi_{v=1}(x) = N \, x \, e^{-\frac{\alpha}{2}x^2}$,
en donde $\alpha=\frac{\sqrt{km}}{\hbar}$.
\begin{enumerate}
\item
Comprobad que la constante de normalización vale
$N=\left(\frac{2\alpha^{3/2}}{\pi^{1/2}}\right)^{1/2}$
\item
Calculad el valor medio de la energía potencial en ese estado,
expresándola en función de $h\nu_e$.
\item
Calculad el valor medio de la energía cinética en ese estado,
expresándola en función de $h\nu_e$.
\item
Calculad el valor de la densidad de probabilidad en los puntos en los que
toma su valor máximo,
expresándola en función de $\alpha$.
\end{enumerate}
$$
\int_{-\infty}^{\infty} x^{2n} \, e^{-a x^2} \, dx = 
    \frac{(2n)! \, \pi^\frac{1}{2}}{2^{2n} \, n! \, a^{n+\frac{1}{2} }}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
\nu_e = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}
$$
%....................................................................
% 2
\item {[2 puntos]}\\
Un electrón se encuentra en un estado estacionario del átomo de hidrógeno
descrito por el siguiente orbital:
$ \psi_{n\ell m} = N_{n\ell m}\,r\,e^{-\frac{1}{2a_o}r}\,\cos\theta$,\,\,\,\,
con constante de normalización
$N_{n\ell m} = \left( \frac{1}{32 \pi a_o^5} \right)^{1/2}$
\begin{enumerate}
\item
Comprobad que la constante de normalización es correcta.
\item
Calculad el valor más probable de la distancia electrón-núcleo.
\item
Calculad el valor medio de la distancia electrón-núcleo.
\item
Calculad los nodos radiales y angulares que tenga.
\item
Obtened los números cuánticos $n$, $\ell$ y $m$ 
y decid de qué orbital se trata.
\end{enumerate}
$$
\int_{0}^{\infty} r^n \, e^{-\alpha\,r} \, dr  = \frac{n!}{\alpha^{n+1}}
\,,\;\; (n>0, \alpha >0)
$$

%....................................................................
% 3
\item {[2 puntos]}\\
\underline{\bf Elige una} de entre las dos preguntas siguientes:

\begin{enumerate}
\item
Sabiendo que la solución general de una ecuación diferencial del tipo
$$\frac{d^2\psi}{dx^2}=-k^2 \psi
\;\;\;\;\;\;\mbox{es}\;\;\;\;\;\; \psi(x)=A\,\mbox{sen}(kx) + B\,\cos{(kx)}
$$
obtén las funciones de onda y las energías de los estados 
estacionarios de una partícula en una caja monodimensional 
de longitud $a$.
% . . . . . . . . . . . .
% 4
\item
Obtén el término espectral más estable de los átomos siguientes
y di cuál es su degeneración:
\begin{enumerate}
\item
El átomo de Mg en su configuración $(1s)^2 (2s)^2 (2p)^6 (3s)^2$.
\item
El átomo de O en su configuración $(1s)^2 (2s)^2 (2p)^4$.
\item
El átomo de C en su configuración excitada $(1s)^2 (2s)^2 (2p)^1 (3p)^1$.
\item
El átomo de Ti en su configuración
$(1s)^2 (2s)^2 (2p)^6 (3s)^2 (3p)^6 (3d)^3 (4s)^1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%....................................................................


\end{enumerate}
\end{document}
